Учись Учиться

Организационно-методический раздел

 

 

Цель:

 

Дать учащимся возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету, сформировать умение самостоятельно приобретать знания, публично отчитываться о полученных результатах. 

 

Задачи:

 

1.     Развить интерес к изучению математики, к активно-поисковой деятельности.

2.     Показать широту и разнообразие применения математических вычислений в реальной жизни.

3.     Развить творчество учащихся в выполнении практических работ.

  

Место курса в системе предпрофильной подготовки:

 

Данный курс предпрофильной подготовки является предметно ориентированным, расширяет базовый курс по математике.

 

 

 

Требования к курсу по освоению содержания курса:

 

- уметрь решать задачи, взятые из реальной жизни, разными способами (в рамках программы 7-9 кл.);

- уметь решать неравенства с двумя переменными в координатной плоскости;

- уметь строить графики некоторых функций со знаком мрдуля  (в рамках программы 7-9 кл.).

 Учебно-методическое обеспечение.

 

Литература для учителя:

 

 

1.     Базовые учебники «Алгебра – 8» и «Алгебра – 9» под редакцией Ш.А.Алимова и др. Москва, «Просвещение», 2002 г.

2.     И.Ф.Шарыгин «Факультативный курс по математике». Москва, «Просвещение», 1987 г.

3.     И.С.Петраков «Математические кружки в 8-10 классах». Москва, «Просвещение», 1987 г.

4.     З.Н.Альхова и др. «Внеклассная работа по математике». Библиотека учителя. Саратов, «Лицей», 2002 г.

5.     Гарднер М. «Математические новеллы». Под редакцией Я.А.Смородинского, Москва, «Мир», 1974 г.

6.     Н.Я.Виленкин «Комбинаторика». Москва «Наука», 1969 г. и послед.издания.

7.     Е.А Бунимович, В.А.Булычев «Вероятность и статистика». Москва «Дрофа», 2002 г.

8.     Газета «Математика», издательство «Первое сентября» (приложение) №36 – 2002; №27-28 – 2002; №8 – 2003.

9.     Е.А.Семенко «Обобщающее повторение в курсе алгебры основной школы», Краснодар, 2002г.

10.                       Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе». №10 2003 г.

 

Литература для учащихся:

 

1.     Базовые учебники «Алгебра – 8» и «Алгебра – 9» под редакцией Ш.А.Алимова и др. Москва, «Просвещение», 2002 г.

2.     Л.Ф.Пичурин «За страницами учебника алгебры». Москва «Просвещение», 1990 г.

3.     Г.В.Дорофеев, Е.А.Седова «Процентные вычисления. Учебное пособие для старшеклассников» .Москва «Дрофа», 2003 г.

4.     Л.В.Кузнецова и др. «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс», Москва, «Дрофа», 2002 г.

5.     Ф.Ф.Лысенко «Алгебра 9 класс. Тесты», Ростов-на-Дону «Легион», 2004г.

 

 

 

 

Тема 1. Знакомство с комбинаторикой.

1. Обозначить круг задач, которые будут предложены учащимся. Это задачи, содержащие вопросы типа: «Сколькими способами?», «Сколько всего существует вариантов?». Например, сколько существует способов распределения Золотой, серебряной и бронзовой медалей между командами в футбольном чемпионате? Сколькими способами можно добраться из одного города в другой? Сколько абонентов может обслужить телефонная станция, если телефонные номера четырехзначные и должны начинаться с цифры 9? Подобные задачи и называются комбинаторными.

С комбинаторными задачами люди имели дело еще с глубокой древности, когда, например, они выбирала наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. В дальнейшем появились игры, требовавшие умения планировать, рассчитывать свои действия, продумывать возможные комбинации. Приспособления для таких игр археологи находили в древних захоронениях, например, в пирамиде египетского фараона Тутанхамона. А позже появились шашки, шахматы, нарды.

Долгие века комбинаторика развивалась в недрах арифметики, геометрии и алгебры. Как ветвь математики комбинаторика возникла только в 17 веке. А толчком к этому послужили азартные игры, прежде всего игра в кости.(два или три кубика с нанесенными на них очками выбрасывали на стол, и выигрывал тот, у кого сумма очков оказывалась больше). Игроки пытались понять, почему одни суммы выпадают чаще, а другие реже. Задача оказалась совсем непростой, особенно в случае трех или четырех костей. Этой проблемой в 16 веке занимались известные итальянские математики Джироламо Кардано, Николо Тарталья, в 17 веке – Галилео Галилей, крупнейшие математики Франции Блез Паскаль и Пьер Ферма. Работы последних ознаменовали рождение двух новых ветвей математики – комбинаторики и теории вероятностей.

Но не только азартные игры послужили толчком к исследованиям математиков. Еще одна причина – тайна переписки. Шифрами пользовались короли, дипломаты и заговорщики, а также сами ученые. Изобретались все более сложные шифры, а для кодирования и расшифровки информации привлекались математики. Так еще в конце 16 в., во время войны Франции с Испанией, расшифровкой переписки между противниками французского короля и испанцами занимался Франсуа Виет. Навыки в работе со сложными шифрами помогали ученым при разгадке письменности древних народов.

В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказались биология, химия, физика. Роль комбинаторики коренным образом изменилась с появлением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.

2. Задача 1. Из Петербурга в Москву можно добраться на поезде, самолете, автобусе или теплоходе, а из Москвы во Владимир – на автобусе или электричке. Сколькими способами можно осуществить путешествие Петербург-Москва-Владимир?

Решение. Сначала следует выбрать один из четырех возможных вариантов путешествия из Петербурга в Москву, а затем один из двух способов путешествия из Москвы во Владимир. Значит, всего получается 4×2=8 способов путешествия. Это рассуждение проводится с опорой на рисунок.

 

                              Поезд                                             

                              самолет

                              автобус                                       автобус                                          Владимир

Петербург             теплоход               Москва        электричка   

 

 

Комбинаторное правило умножения: если некоторое действие можно осуществить m различными способами, после чего другое действие можно осуществить n различными способами, то два этих действия вместе можно осуществить m×n различными способами.

Задача 2. В розыгрыше чемпионата по футболу участвуют 12 команд. Сколькими способами могут быть распределены: а) золотая медаль; б) золотая и серебряная медали; 2) золотая, серебряная и бронзовая медали?

Ответ: а) 12. (Золотую медаль может получить любая команда)

б) 12×11 = 132. (выбор золотого медалиста ограничивает круг претендентов на серебряную медаль, их остается 11)

в) 12 ×11×10 = 1320.

 

Задача 3. Сколько существует вариантов кода для входной двери, состоящего из трех цифр?

Решение. Если рассматривать случай последовательного набора, то цифры могут повторяться, поэтому мы имеем 10×10×10 = 1000 вариантов кода.

В случае одновременного набора трех цифр получается 10×9×8 =720 вариантов кода.

Задача 4. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых: а) не повторяется ни одна из цифр; б) цифры могут повторяться; в) все цифры нечетные; г) все цифры четные?

Ответ: а) 9×9×8×7 =4536 ( первой цифрой может быть любая, кроме 0, второй – любая из 9 оставшихся и т.д.)

б) 9×10×10×10 = 9000.

в) 5×5×5×5 = 625.

г) 4×5×5×5 = 500.

Задача 5. Известно, что у всех жителей селения разные инициалы. Какое максимальное число жителей может быть в селении? ( Имя не может начинаться  с Й, Ъ, Ь,Ы )

Ответ: максимально 29×29 = 841 житель.

3. Следующие задачи позволяют обратить внимание учеников на то, что правило умножения совсем не единственный и не универсальный способ решения задач комбинаторики.  

Задача 6. При передаче сообщений по телефону использовалась азбука Морзе. В этой азбуке каждая буква передается последовательностью точек и тире. Например, буква Е обозначена точкой, а буква Т – тире. Понятно, что чем короче последовательность, обозначающая букву, тем лучше. Можно ли обойтись последовательностями не более чем в четыре знака, чтобы передать все буквы нашего алфавита?

Решение. С помощью одного знака (точки или тире) можно передать две буквы. С помощью двух знаков -2× 2 = 4 буквы. (После первого знака можно поставить любой из имеющихся двух. Пусть учащиеся изобразят эти четыре последовательности.) С помощью последовательности из трех знаков можно передать  букв. (Из каждой последовательности из двух знаков получаются еще две приписыванием точки или тире.) Последовательностью из четырех знаков можно передать  букв. Итого, последовательностями из одного, двух, трех и четырех знаков можно передать 2+4+8+16 = 30 букв. В русском алфавите букв 33, значит, придется использовать и последовательности и из пяти знаков.

Как видим при решении этой задачи помимо правила умножения необходимо было и сложение. Особенность комбинаторных задач – опасность «механического» применения правил.

Задача 7. В стране 25 городов, и каждые два соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране?

Решение. Сначала кажется, что эта задача не отличается от предыдущих. Действительно, всего 25 городов, из каждого выходит 24 авиалиний, итого 25×24 = 600 авиалиний. Однако при этом подсчете каждая авиалиния была учтена дважды. Таким образом, на самом деле число авиалиний равно600:2 = 300.

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения.

 

1. Петя пять раз бросал монету и каждый раз записывал, что у него выпало – «орел» или «решка». Получилась последовательность из пяти букв: ОРРОО. Сколько всего существует вариантов таких последовательностей? Ответ:
2. В турнире участвовали 16 шахматистов, причем каждый сыграл по одной партии. Сколько было сыграно партий?  Ответ:
3. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?    Ответ:
4. Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 учеников, можно выбрать капитана команды и его заместителя? Ответ: 30×29 = 870.
5. Сколькими способами из класса в 30 человек можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде? Ответ:

Тема 2. Процентные вычисления в жизненных ситуациях.

 

Объявляя учащимся цель занятия, полезно подчеркнуть, что сюжеты задач взяты из реальной жизни – газет, объявлений, документов и т.д. Представленные задачи могут быть решены разными способами. Применение калькулятора снимает непринципиальные технические трудности, позволяет разобрать больше задач. Но в ряде случаев необходимо считать устно. Для этого полезно знать некоторые факты, например, чтобы увеличить величину на 50%, достаточно прибавить ее половину, чтобы найти 20% величины, надо найти ее пятую часть, что 40% величины в четыре раза больше, чем ее 10%, что треть величины – это примерно 33%.

1. Распродажа.

Задача 1. Зонт стоил 360р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре - еще на 10%.Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение. Стоимость зонта в ноябре составила 85% от 360р., т.е. 360×0,85 = 306 р. Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306 р., т.е. 306×0,9 = 275,4 р.

Ответ: 275р. 40 к.

Дополнительный вопрос. На сколько процентов по отношению к первоначальной цене подешевел зонт?

Решение. Найдем отношение последней цены к исходной и выразим в процентах. Получим 76,5%. Значит, зонт подешевел на 23, 5%.

Задача 2. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке – до 10%. Сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план?

Решение. Просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать х т лука. Тогда после хранения может остаться 0,85х т и на ярмарку будет доставлено – 0,9×0,85х т. Составим уравнение

0,9×0,85х = 1, откуда х = 1,3 т.

Ответ: не менее 1,3 тонны.

Задача 3. на сезонной распродаже магазин снизил цены на обувь сначала на 24%, а потом еще на 10%. Сколько рублей можно сэкономить при покупке кроссовок, если до снижения цен они стоили 593 р.?

Решение. В реальной жизни часто вместо точных подсчетов удобно выполнять прикидку. В нашем случае 593 р. – это примерно 600 р.; а 24% - это примерно ¼. Четверть от 66 р. составляет 150р. Таким образом, после первой уценки цена снизилась на 150 р. и составила 450 р. После второй уценки цена снизилась еще примерно на 45 р. в итоге кроссовки подешевели примерно на 195 р.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 4. Антикварный магазин приобрел старинный предмет за 30 тыс.р. и выставил его на продажу, повысив цену на 60%. Но этот предмет был продан всего через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже этого предмета?

Ответ: 8,4 тыс.р.

Задача 5. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 р. уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%.

В каком магазине выгоднее купить этот шарф?

Ответ: во втором магазине.

Задача 6. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 р. за коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

Ответ: примерно 6 тыс.р.

2. Тарифы.

Задача 7. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 р. 15 к. вместо 2 р. 75 к. Соответствует ли  рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%?

Решение. Разность тарифов составляет 0,4 р., о ее отношение к старому тарифу равно 0,14545…

Выразив это отношение в процентах, получим 14,5%.

Ответ: соответствует.

Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если сейчас эта услуга оценивается в 5 р. 50 к.

Ответ: 6 р.30 к.

Задача 8. Тарифы для мобильных телефонов зависят от систем оплаты. В 2000 г. тарифы оплаты по системам К и М были одинаковыми, а в следующие три года последовательно либо увеличивались, либо уменьшались (см. табл.). сравните тарифы в 2003 г.

 

 

Тарифы	Годы
	2001	2002	2003
По системе К	Увеличен на 10%	Уменьшен на 3%	Уменьшен на 3%
По системе М	Уменьшен на 5%	Увеличен на 3%	Увеличен на 4%

 

Решение. В 2003 г. тариф по системе К увеличился по сравнению с исходным примерно на 3,5%, а по системе М – на 1,8%. Таким образом, тариф по системе стал выше примерно на 1,7%.

Пояснение. Следует обозначить за х тарифы М и К в 2000 г., затем последовательно выразить через х все последующие тарифы.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 9. В начале года тариф на электроэнергию составлял 40 к. за 1 кВт в ч. В середине года он увеличился на 50%, а в конце года – еще на 50%. Как вы считаете, увеличился ли тариф на 100%, менее чем на 100%, более чем на 100%?

Ответ: увеличился более чем на 100%.

Задача 10. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 5 р. В связи с инфляцией она возросла на 200%. Во сколько раз повысилась стоимость проезда в автобусе?

Ответ: в 3 раза.

Задача 11. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20% ниже, чем в прошлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в нынешнем году?

Ответ: нет.

Пояснение. Рисунок поможет убедиться, что в прошлом году тарифы по сравнению с нынешним были выше на 25%.

 

 

3.Штрафы.

 

Задача 12. Занятия в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно по 250 р. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты за месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Решение. Так как 4% от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Родителям придется заплатить 250 + 10×7 = 320 р.

Задача для самостоятельного решения.

Задача 13. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25% месячного оклада, и, кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5% месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс.р. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев?

Ответ: 5000 р.

    4. Банковские операции.

Задача 14. За хранение денег сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет 5000 р. и решил в течении пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете через год, через два года, через пять лет?

Решение. Так как 8% от 5000 р. составляют 400 р., то через один год на счете окажется 5400 р. В конце второго года проценты будут начисляться уже на новую сумму. 8% от 5400 р составляют 432 р., через два года на счету окажется 5400 + 432 = 5832 р. Вычисляя последовательно, найдем, что через пять лет на счету будет 7346 р. 64 к.

 

 

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 15. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12%. Какая сумма будет лежать на его счету через год, через два года, через шесть лет?

Ответ: 2240 р., 2508 р. 80 к.. 3947 р. 65 к..

Задача 16. Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за пять лет, если они воспользуются вкладом «Накопление» с годовой процентной ставкой 16%. Проверьте, выполнит ли банк свои обязательства.

Задача 17. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения воспользовался кредитом, взяв сумму 40 тыс.р. с обязательством возвратить кредит (с учетом 20% годовых) через 3 года. В этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обучения с 20% до 19% годовых. Поэтому у Бориса, последовавшего примеру брата, долг окажется меньше. На сколько?

Ответ: примерно на 1700 р.

5. Голосование.

Задача 18. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении Ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Решение. Выразим проценты дробями и вычислим число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос 550×0,88×0,75 = 363 человека. Теперь найдем ответ на вопрос задачи 363 : 550 = 0,66 – 66%.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 19. Собрание гаражного кооператива считается правомочным, если в нем приняли участие 2/3 всех его членов, и вопрос считается решенным, если за него проголосовали не менее 50% присутствующих. В кооперативе 240 человек. На собрание пришли 168, а за положительное решение проголосовали 86 человек. Какое принято решение?

Ответ: положительное.