Учись Учиться

Реферат
Математика
14 March 2012

Универсальные алгебры

Star InactiveStar InactiveStar InactiveStar InactiveStar Inactive
 
    Tags:
  • Реферат
  • основам дискретной математики
  • Универсальные алгебры
  • Понятия моделей
  • Структура подалгебр
  • совокупности частичных операций
  • Теорема
  • системой образующих алгебры

       Реферат по основам дискретной математики на тему: “Универсальные алгебры”

  Содержание

  TOC \o "1-1" \h \z \u Понятия моделей и универсальных алгебр. PAGEREF _Toc72883607 \h 3 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000D0000005F0054006F006300370032003800380033003600300037000000

Подалгебры. Системы образующих. PAGEREF _Toc72883608 \h 6 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000D0000005F0054006F006300370032003800380033003600300038000000

Структура подалгебр универсальной алгебры.. PAGEREF _Toc72883609 \h 8 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000D0000005F0054006F006300370032003800380033003600300039000000

Функции алгебры логики.. PAGEREF _Toc72883610 \h 12 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000D0000005F0054006F006300370032003800380033003600310030000000

Литература. PAGEREF _Toc72883611 \h 17 08D0C9EA79F9BACE118C8200AA004BA90B02000000080000000D0000005F0054006F006300370032003800380033003600310031000000

Понятия моделей и универсальных алгебр

 

Пусть А — некоторое непустое множество;                               {x1, x2, … ,xs, …} — система  n-отношений на множестве А (конечная или бесконечная). Каждому n-отношению x на множестве А можно сопоставить n-местную логическую функцию (предикат)   p :А®{и,л}  так, что p (ai1, ai2, …. ,ain) = тогда и только тогда, когда выпол­няется n-отношение x (ai1, ai2, … , a in) (и, л —логические зна­чения истины и лжи соответственно; а i1,а i2, … , a in ÎА).                                            

Моделью МA= <A;p>  называется система, состоящая из мно­жества А и определенной на данном множестве совокупности предикатов p={ps | s=1,2,…}. Множество А называется основным множеством данной модели; предикаты, принадлежа­щие p, — её основными или главными предикатами. Последовательность                                    называется типом модели МA, а совокупность p={ps | s=1,2,…}                            — ее сигнатурой.

Модель МA1= <А1;p¢> (A1  — непустое подмножество множест­ва А) называется подмоделью модели  MA= <A;p>. Мно­жество однотипных моделей, т. е. моделей, типы которых совпадают, образует класс моделей по данному типу.

Однотипные модели называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное отображение j множества А на множество В  такое, что для любого s = 1, 2, ... предикат                  ps (a1, a2,….,ans) справедлив тогда и только тогда, когда вы­полняется предикат ss ((a1)j, (a2)j,…., (ans)j)  для произволь­ных                      a1, a2,….., ans Î A .           Отображение     в этом случае называется изоморфизмом модели  MA на MB.

Рассмотрим модель МA= <A;p>, где каждый  n-местный  предикат, входящий в p, соответствует функциональному отношению j на множестве А. С каждым таким отношением      связана некоторая частично опре­деленная (n-1) местная функция    Fj(x1, x2,…,xn-1).

Частично определенная функция Fj (x1,…, xn) называется           n-арной частичной операцией на множестве A. Бинарными являются известные арифметические операции над числами (сложение, умножение и др.), а также теоретикo-множественные операции (объединение, пересечение, декартово произведение др.). Унарная (n=1) операция F(x) однозначно сопостав­ляет каждому элементу aÎA некоторый элемент F(a)ÎA, т.е. является отображением множества А в себя (дополнение). Нульарные (n = 0) операции, каждая из которых фиксирует в ос­новном множестве А некоторый элемент aÎA, не зависящий от других элементов из множества А или от их систем.

Система UA= <A;y>, состоящая из основного множества А и определенной на нем совокупности частичных операций          y={Fs (x1,… xns)|s=1,2…}, называется частичной универсальной алгеброй типа (ns|s=1,2…) c сигнатурой операций y={Fs|s=1,2…}.                          Если каждая из операций, принадлежа­щих сигнатуре y, всюду определена на множестве А, говорят просто об универсальной алгебре UA= <A;y>.

Как и в модели, сигнатура операций y в частичной универсальной алгебре может быть конечной или бесконечной. Однотипные универсальные   алгебры  часто   рассматриваются как алгебры с одной и той же сигнатурой операций. Пусть UA= <A;y> и UB= <B;y> — однотипные алгебры.  Алгебра UA изоморфна ал­гебре UB,если существует взаимно-однозначное отображение y              множества А на В такое, что произвольная m-местная операция       удовлетворяет соотношению

                       [F(a1,a2,…,am)] y=F((a1) y, (a2) y,…,(am) y)

для любого набора элементов (a1,a2,…,am)ÎA. Отображение j в этом случае называется изоморфизмом алгебры UA на алгебру UB.

Примеры универсальных алгебр:

Пример 1. Система <N;{+}>, состоящая из основного мно­жества N всех  натуральных чисел с единственной бинарной опе­рацией “+”, образует  универсальную алгебру типа 2 с сигнатурой {+}.

Пример 2. Система <N;{´}>, состоящая из основного множества N, на котором определена бинарная операция “´” образует универсальную алгебру типа 2 с сигнатурой {´}.    

Пример 3. Система <N;{+,-,´,:}>, состоящая из основ­ного множества N с определенными на нем бинарными арифме­тическими операциями, образует частичную универсальную алгебру типа (2, 2, 2, 2) с сигна­турой {+,-,´,:}.

Конкатенацией или умножением цепочек s1,s2 Î F(u) называ­ется бинарная операция, которая каждой паре цепочек s1,s2, ставит в соответствие новую цепочку s1s2, полученную в результате   приписывания справа к цепочке s1,цепочки s2. Причем пустая  цепочка е удовлетворяет соотношению

                                          es=se=s

для любого sÎF(u). Операция конкатенации ассоциативна.

Введение промежуточного языка позволяет сократить число необходимых трансляторов до г+s. В программировании известны два подхода к выделению промежуточного языка при решении проблемы трансляции. 1. Промежуточный язык может быть ори­ентирован на класс машин. Такой подход применен при создании языка АЛМО. 2. Промежуточный язык может быть ориен­тирован на класс входных языков. В этом случае он представляет собой параметрическую систему, которая включает в себя ядро, отражающее общие черты класса входных языков, и параметры, отражающие специфику отдельного входного языка из заданного класса .

Пусть {M} — множество машин, каждая из которых характе­ризуется лишь своим языком LM так, что машины M1 и M2 совпадают, если LM1=LM2. Тогда существуют программы, преобразующие одни машины в другие. Пусть RM — язык  машины М. Тогда интерпретатор  с языка высокого уровня L, реализованный на машине M, позволяет выполнять на данной машине программы на языке L. Тем самым интерпретатор               преобразует машину M в новую машину M¢ с языком LM¢=L. Такого рода программами являются также эмуляторы, моделирующие математическое обеспечение (MО) одной машины на другой .В  частности, для автоматизации процесса разработка современных ЭВМ часто используют рабочую машину M1 на которой моделируют систему МО проектируемой машины M2. Машина M1, в таком случае называется инструментальной, а система, моделирующая математическое обеспечение машины M2 — имитатором. Интерпретаторы, эмуляторы и имитаторы можно рассматривать как операции, определенные на множестве машин и принимающие значения в атом же множестве. Применение аппарата универсальных алгебр для формализации процессов программировании позволяет изучать их свойства, соотношения и взаимодействия.

 

Подалгебры. Системы образующих.

 

Пусть UA= <A;y> — универсальная алгебра и A1ÍA — некоторое непустое подмножество A. Множество [A1]FÍA называется замыканием множества A1 в алгебре UA по n-местной операции FÎy, если а) A1Í[A1]F; б) для любых элементов    q1,q2,…qnÎ[A1]F таких, что значение F(q1,q2,…qn) определено, F(q1,q2,…qn)Î[A1]F, при этом любой элемент из [A1]F         порождается в конечном счете из элементов A1 посредством операции F.    

Множество [A1]FÍA называется замыканием множества A1, в алгебре UA, если [A1] состоит из всех элементов, которые              по­рождаются из элементов, принадлежащих A1, с помощью основных и производных операции алгебры UA.

Пусть множество A1ÍA замкнуто в алгебре UA. Toгда систему UA1= <A1;y> можно рассматривать как универсальную алгебру. Алгебра UA1= <A1;y> называется подалгеброй универсальной алгебры UA= <A;y>. Примером  несобственной подалгебры алгебры                    является сама эта алгебра.

Пример. Система <N(r); {+}>, где N(r)={n|n³r}ÍN, является подалгеброй алгебры <N; {+}>                   .

Теорема 3.1. Пусть {UAa|aÎI} — совокупность подалгебр  алгебры UA= <A;y>, где AaÍA – замкнутые множества  в алгебре UA. Непустое пересечение совокупности {UAa|aÎI} подалгебр алгебры UA также образует подалгебру данной алгебры.

Теорема 3.2. Пусть åÍA — некоторое непустое подмножество множества А. Тогда подалгебра U{å} является пересечением сово­купности {UAa|aÎI}.

Теорема 3.3. Пусть UA= <A;y> — конечно-порожденная ал­гебра. Тогда в любой системе образующих å алгебры UA можно выделить конечную подсистему å¢Íå, которая также порождает алгебру UA.

При изучении системы образующих универсальных алгебр и их подалгебр важное значение имеет установление эффективных критериев, позволяющих определить, является ли некоторая фикси­рованная система элементов системой образующих данной алгебры (соответственно подалгебры). Сформулированная проблема назы­вается проблемой полноты для данной алгебры (соответственно подалгебры), а ее решение может быть связано с изучением так называемых максимальных подалгебр.

Пусть UA= <A;y> — произвольная универсальная алгебра. Собственная подалгебра AMÌA называется максималь­ной подалгеброй относительно алгебры UA, если не существует собственной подалгебры A¢ÌA для которой выполнялось бы строгое включение AMÌA. Очевидно, подалгебра AM тогда и только тогда максимальна относительно UA, когда  присоединение любого элемента qÎA\AM к подалгебре AM приводит к соотношению [AMÈq].

Подалгебра A¢ÌA универсальной алгебры UA может быть расширена до подалгебры AMÌA, максимальной относительно UA, если AÍAM. Для конечно-порожденных алгебр cправедлива следующая теорема Неймана.

Теорема 3.4. Всякая подалгебра A¢ÌA конечно-порожденной  алгебры UA может быть расширена до некоторой подалгебры AM ,максимальной относительно UA.

Теорема 3.5. (критерий Поста). Пусть М — множество всех подалгебр, максимальных относительно конечно-порожденной ал­гебры UA. Система åÌA тогда и только тогда является системой образующих алгебры UA, когда для каждой подалгебры AMÎM в системе å найдется по крайней мере один элемент, не при­надлежащий данной подалгебре.

Необходимость   следует   на   замкнутости   множеств AMÎM, а также из строгого включения AMÌA.

Достаточность. Пусть åÌA — система элементов такая, что    для каждой максимальной подалгебры AMÎM в системе å существует qkÎAM. Покажем, что å — система образующих алгебры А. Предположим, что система å неполная. Тогда  вследствие [å]¹A и вследствие конечной порожденности алгебры А  по доказанной выше теореме 3.4  подалгебру  [å]ÌA можно расширить до некоторой подалгебры AMsÎM, максимальной относительно  алгебры А.

При программировании автоматов (в частности, ЭВМ) систему  исходных элементов необходимо выбрать так, чтобы с их помощью можно было реализовать любой автомат  данного класса (предполагается,  естественно, что любой элемент исходной системы имеется в неограниченном   количестве  экземпляров). Точно так же при создании алгоритмического языка,  ориентированного на не­который класс алгоритмов, необходимо учитывать, что с помощью основных операторов данного языка должен записываться любой из алгоритмов данного класса .

 

Структура подалгебр универсальной алгебры

 

Одной из важных проблем универсальных алгебр является изуче­ние структуры их подалгебр. Особый интерес представляют во­просы, связанные с построением структурного графа подалгебр данной универсальной алгебры. Структурный граф подалгебр универсальной алгебры представляет собой граф, верши­нами которого являются подалгебры; вершина Ai соединяется с вершиной Aj дугой или отрезком, если подалгебра Aj макси­мальна относительно подалгебры Ai; при этом вершина Ai распо­лагается выше вершины Aj. Посту удалось полностью построить структурный граф подалгебр алгебры логики. В частности, им показано, что каждая подалгебра алгебры логики имеет конечную систему обра­зующих и множество всех подалгебр счетно. Множество всех подалгебр  k-значных алгебр Поста (k³3) является множеством мощности континуума. Алгебры, множества подалгебр которых являются множествами мощности не менее континуума, называются алгебрами континуального типа. С алгебрами континуального тина часто связано существование бесконечно порожденных подал­гебр, имеющих счетный базис.

Система образующих åÍA универсальной алгебры UA= <A;y> называется базисом данной алгебры, если [å\ai]¹A для каждого элемента aiÎå.

Пример. Каждая система å такая , что åÎ1, является системой образующих алгебры <N;{+}>. В то же время алгебра <N;{+}> имеет единственный базис å={1}.

Теорема 3.6. Всякая   конечно-порожденная алгебра имеет ко­нечный базис.

Теорема 3.7. Если цепь С плотна и для каждого i найдется конечная система åÍAi+1\Ai такая, что AiÌ[åi], то алгебра А не имеет базиса.

Как показывает следующая теорема, универсальная алгебра является алгеброй континуального типа, если она имеет хотя бы одну подалгебру с бесконечным базисом.

Теорема 3.8. Пусть алгебра UA= <A;y> имеет подалгебру UA, с бесконечным счетным базисом. Тогда мощность множества всех подалгебр алгебры UA не меньше континуальной.

Таким образом, всякая алгебра, имеющая хотя бы одну под­алгебру со счетным базисом, является алгеброй континуального типа. К последним,  в  частности, относятся k-значные алгебры Поста (k³3), а также некоторым их модификации, (связанные с преобразованием на регистрах.

Следствие. Алгебрами континуального типа являются алгебра                                              всех конечных языков и алгебра всех языков над алфавитом n={a1,a2,…,an}.

При изучении структуры подалгебр важно установить критерии бесконечной порожденности, а также существования базиса уни­версальных алгебр. Универсальная алгебра UA= <A;y> называется плотной, если любая собственная под­алгебра A¢ÌA может быть расширена до некоторой подалгебры, максимальной относительно UA, либо если при A=ÈiAi, последовательность         A1Ì…ÌAiÌ… образует цепь, отвечающую условию плотности (т. е. для всякой подалгебры A¢ÌA найдется номер n такой, что A¢ÍAn).

Теорема 3.9. Пусть плотная алгебра А' имеет базис. Тогда любая ее собственная подалгебра UA может быть расширена до некоторой подалгебры, максимальной относительно UA.

Из данной теоремы следует, в частности, теорема 3.4. Кроме того, для плотной алгебры справедливы следствия.

Следствие 1. Алгебра UA      не имеет базиса, если существует по крайней мере одна собственная подалгебра A¢ÌA не допу­скающая  расширения  до  подалгебры,  максимальной     относи­тельно UA.

Следствие 2, Алгебра UA с бесконечным базисом имеет беско­нечную совокупность максимальных подалгебр.

Следствие 3. Система åÌA тогда и только тогда является системой образующих алгебры UA, имеющей базис, когда для каждом подалгебры AMÎM в системе å найдется по крайнем мере один элемент, не принадлежащий подалгебре AM (M — множество всех максимальных подалгебр алгебры UM).

Для плотных алгебр с базисом справедлив следующий кри­терий конечной порожденности.

Теорема 3.10. Пусть UА — плотная алгебра с базисом. Ал­гебра UA имеет конечный базис тогда и только тогда, когда для множества M={AMi|iÎI}всех подалгебр, максимальных отно­сительно UA, существует конечное разбиение R(I)={I1,I2,…,Ik}                             такое, что для любого r=1,2,…,k

                                  Ç AMir¹Æ       где AM=A\AM.

Подалгебра  А алгебры UB=<B;y> называется  достижимой сверху в структурном графе подалгебр алгебры UB, если существует но крайней мере одна монотонно убывающая последовательность  конечно-порожденных подалгебр A1ÉA2É… такая, что A=ÇiAi, где, и при каждом i=1,2… подалгебра Ai максимальна относительно Ai-1 либо Ai=Ça<iAa. Множество всех достижимых сверху конечно-порожденных подалгебр алгебры UB называется  поверхностью  этой алгебры.

                Подалгебра А называется дости­жимой снизу в структурном графе подалгебр алгебры UB, если существует монотонно возрастающая последовательность конечно-порожденных подалгебр A1ÌA2Ì… такая, что A=ÈiAi ,где A1 один из минимальных элементов структуры подалгебр алгебры UB, и при каждом i=1,2…, подалгебра Ai максимальна относительно Ai+1 либо Ai=Èa<iAa. Множество всех достижимых снизу  конечно-порожденных подалгебр  алгебры UB называется основанием данной алгебры.

Если каждая подалгебра UB конечно-порожденная, то поверхность данной алгебры совпадает с ее основанием и полностью представляет структурный граф данной алгебры . Так, поверхность (основание) двузначной алгебры Поста совпадает со всем структурным графом (диаграммой включений) подалгебр данной алгебры. Если алгебра UB имеет бесконечно-порожденные подалгебры, построение поверхности (основания)                    данной алгебры позволяет изучить   ограничивающие эту поверхность (основание) бесконечно порожденные подалгебры.

Пример 6. Рассмотрим структуру подалгебр, входящих в подалгебру O9 — всех одноместных функций и  констант двузначной алгебры Поста. Поверхность подалгебры O9 является частью всей поверхности рассматриваемой алгебры и содержит конечное число (9) подалгебр:

O9={0,1,x,x},    O8={0,1,x},    O7={0,1}

O6={0,x},          O5={1,x},       O4={x,x}

O3={0},             O2={1},          O1={x}

Каждая из перечисленных подалгебр, очевидно, конечно-порожденная. Поэтому поверхность подалгебры O9 совпадает  с  ее основанием и полностью представляет структурный граф под­алгебр, входящих в O9 (рис. 1).

 

Рис. – 1

 

Функции алгебры логики

 

В  настоящем параграфе рассмотрены элементы теории булевых функций или функций алгебры логики, используемые при про­ектировании ЭВМ и программировании.

Рассмотрим всюду определенные булевы функции, т. е. функции, принимающие значение 1 или 0 на каждом из своих двоичных наборов. Поскольку каждая переменная может прини­мать лишь, два значения, любая булева функция имеет конечную область определения.

Область определения n-местной булевой функции состоит из      наборов значений переменных. Конечность области определения и области значения произвольной булевой функции позволяет задавать функцию с помощью таблиц истинности. Двоичные наборы значений переменных записываются как некоторые целые числа в двоичной системе счисления. Набор a=(a1,a2,…,an) отож­дествляется с записью числа

                                  a1×2 +a2×2 +…+an-1×2+an

Это число называется номером соответствующего  набора.

         Номера наборов n-местной булевой функции изменяются от нуля до 2 – 1. Расположив наборы в столбец в порядке роста их но­меров и указав значения функции на каждом наборе, получим таблицу истинности булевой функции (табл. 1).

Булевыми функциями являются логические операции: дизъюнкция, конъюнкция, отрицание. К другим известным булевым функциям относятся импликация, эквивалентность, сложение, обратная импликация, прямая антиимпликация, обратная антиимпликация, штрих Шеффера, стрелка Пирса.

Эти функции определены в таблице 2.

В связи   с тем что   на каждом   наборе булева функция может принимать одно из двух значений  (1  или 0),  независимо от значений, которые она принимает на остальных наборах, существуют 2 различных n-местных булевых функций.

Таблицы истинности булевых функций с ростом числа аргу­ментов становятся громоздкими и неудобными. Более удобный аналитический способ задания булевых функций основан на рассмотрении алгебры ФЕ2, с операцией суперпозиции над множест­вом булевых функций — двузначной алгебры Поста. Зафиксировав в качестве системы образующих алгебры булевый набор операций                       произвольную булеву функцию можно представить как суперпозицию этих булевых операций.

Одной из интересных систем образующих алгебры ФЕ2, явля­ется набор Жегалкина (Å,×,1). Операции Å и × ассоциативны и коммутативны, кроме того, для Å выполняются следующие соотношения:

x×(yÅz)=x×yÅx×z

xÅx=0

xÅ0=x

Двойственным образом  заменяя в приведенных определениях нули единицами и наоборот, дизъюнкции — конъюнк­циями и наоборот, определяем понятия элементарной дизъюнкции, конституанты 0, конъюнктивной нормальной формы (к .н. ф.), совершенной  конъюнктивной  нормальном  формы  (с. к. н. ф.).

  

 

Теорема 3.11. Всякая булева функция f(x1,x2,…,xn)¹0 может быть однозначно представима в совершенной дизъюнктив­ной нормальной форме.

Следствие. Любая   функция может быть  представлена в виде суперпозиции булевых операций.

Пример. Построим с. д. н. ф. функции f(x,y,z), заданной таблицей истинности (табл. 3).

Конституанты 1, соответствующие наборам, на которых данная функция обращается в единицу, имеют вид xyz, xyz, xyz, xyz. Таким образом

f(x,y,z)=xyzVxyzVxyzVxyz

Отметим, что произвольная функция может быть представлена в классе д. п. ф. различными способами. Так, для приведенного выше примера наряду с выше приведённым равенством выполняется  также  равенство

f(x,y,z)=xyVxzVyz

Поэтому в результате применения теории булевых функций при синтезе комбинационных схем возникла про­блема нахождения минимальной по числу букв д. н. ф. для произвольной булевой функции (проблема миними­зации).

Теорема 3.12. Каждая булева функция может быть представ­лена в форме полинома Жегалкина.

Системы образующих алгебры ФЕ2, называются функционально полными системами. В частности, функционально пол­ными являются рассмотренные выше булева система операции и базис Жегалкина.

Заметим, что система {V,×,-} не является базисом в алгебре ФЕ2. Действительно ввиду того ,что

xVy=xy,

xy=xVy

из булевой системы операций можно исключить дизъюнкции или конъюнкции так, что системы {V,-} и {×,-} также будут функционально полными.

Таким образом алгебра ФЕ2, конечно-порожденная и на осно­вании теоремы 3.5 для нее справедлив критерий Поста, обеспечивающий необхо­димые и достаточные уcловия при которых произвольная система åÌ ФЕ2, является системой образующих данной алгебры.

Булевой функцией, сохраняющей константу 0, называется функция f(x1,x2,…,xn) такая, что f(0,0,…,0)=0. Напри­мер, сохраняют константу 0 дизъюнкция и конъюнкция, а отрицание и импликация не сохраняют ее (см. табл. 2).

Булевой функцией, сохраняющей константу 1, называется функция f(x1,x2,…,xn) такая, что f(1,1,…,1)=1. Coхpaняют константу 1, например, конъюнкция, дизъюнкции, тогда как отрицание и сумма, не сохраняют ее (см. табл. 2).

Функция f(x1,x2,…,xn) называется самодвойственной, если f(x1,x2,…,xn)= f(x1,x2,…,xn). Примерами самодвойственных функций являются отрицание (все остальные функции, заданные табл. 2, не самодвойственны) и функция f(x,y,z) (см. табл. 3).

Теорема 3.13 (Критерий функциональной полноты). Система функционально полна тогда и только тогда, когда содержит

-хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу 0,

-хотя бы одну функцию, не сохраняющую константу 1,

-хотя бы одну несамодвойственную функцию,

-хотя бы одну немонотонную функцию.

-хотя бы одну нелинейную функцию.

   

 

Необходимость следует из того, что каждый из классов в пяти перечисленных условиях образует собственную подалгебру ал­гебры ФЕ2.

Следствие (ослабленная теорема о функциональной полноте). Для полноты системы булевых функций, включающей константы 0 и 1, необходимо и достаточно,   чтобы эта   система   содержала:

-хотя бы одну немонотонную функцию,

-хотя бы одну нелинейную функцию.

В частности, из доказанной теоремы следует, что алгебра ФЕ2, имеет базисы, состоящие из одной функции. Примерами таких базисов служат штрих Шеффера и стрелка Пирса (см. табл. 2).

Как подчеркивалось, удалось не только описать мно­жество всех максимальных подалгебр алгебры логики, но и по­строить поверхность, которая включает псе подалгебры данной алгебры.


Литература

 

 

 

 

    Tags:
  • Реферат
  • основам дискретной математики
  • Универсальные алгебры
  • Понятия моделей
  • Структура подалгебр
  • совокупности частичных операций
  • Теорема
  • системой образующих алгебры
Rating:
( 0 Rating )
  • Дипломная работа
    • Дипломы по физике
    • по психологии
  • Курсовая работа
  • Реферат
  • доклад
  • Статьи
  • Педагогика
  • Конспект лекций
  • Аннотация
  • Лабораторная работа
  • контрольная
  • Иследования
  • конспект урока

Недавно добавили

ПСИХОСЕМАНТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 12 February 2012
Методика "Шифровка" 02 February 2011
Графические методы в психологии 25 February 2012
Методический анализ темы «ВВЕДЕНИЕ В ЯЗЫК ПРОГРАММИРОВАНИЯ» 08 May 2011
Решение задачи линейного программирования (ЗЛП) графическим методом 08 May 2011
Изучение классного коллектива 15 March 2012
Респираторно-гемодинамическая функциональная система 28 February 2012
Урок химии в 10 классе, Тема: "Бензол" 12 January 2011
СОЦИАЛЬНО-ГИГИЕНИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРОЖИВАНИЯ ДЕТЕЙ ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА Г. ТАШКЕНТ 29 October 2011
Шпаргалка по анатомии на тему "Ткань" "Мозг" 04 November 2013

Самое читаемое

  • Методика «Счет по Крепелину»
  • Психологическая диагностика и коррекция агрессивного поведения детей и подростков
  • Корректурная проба
  • Характеристика На ученика 8а класса
  • Психолого-педагогическая характеристика на ученика 7«В» класса
  • Правовое регулирование медиации в России
  • Понятие и виды преступности несовершеннолетних.
  • Лекция 3. Планирование научного исследования. Формулировка целей и задач.
  • Список литературы по менеджменту
  • Лекция 11. Научные методы исследования. Правила выбора методов в соответствии с темой и задачами. Виды методов для различных направлений исследования.

Последние новости

Создание и исследование компьютерного электрокардиографа 02 February 2014
Оценка загрязнения продуктов питания на примере кисло-молочной продукции региональных производителей 02 February 2014
Дистанционная ударноволновая литотрипсия 01 February 2014
Исследование возможностей использования шумомера 01 February 2014
Методы компьютерной обработки визуальной информации УЗ-сканеров 25 January 2014
Правовое регулирование медиации в России 19 January 2014
Психологическая диагностика и коррекция агрессивного поведения детей и подростков 19 January 2014
Итоговое игровое профориентационное занятие «Как устроиться на работу» 19 January 2014
Участие населения в правотворческом процессе муниципальных образований: реальность или фикция? 18 January 2014
Хрематонимы города Кирова: опыт комплексного анализа 18 January 2014

Сейчас читают

Идеи устойчивого развития в образовании дошкольников: проект ЮНЕСКО «Мы и природа» 05 March 2012
Механизм функционирования рынка в условиях несовершенной конкуренции 10 May 2012
Тема 15. Управление трудовыми ресурсами. 03 May 2011
ПРОГРАММА НАБЛЮДЕНИЯ ЗА ЖИЗНЕННЫМИ ПРОЯВЛЕНИЯМИ СВОЙСТВ ТЕМПЕРАМЕНТА. 03 March 2012
Компьютерные технологии интеллектуальной поддержки управленческих решений Оперативная аналитическая обработка информации (OLAP) 16 February 2012
Тест «Закон всемирного тяготения. ИСЗ» 03 December 2011
Игра — это еще один очень важный метод экологического воспитания. 03 March 2012
ИСТОРИЯ ПРИМИРИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕДУР В РОССИИ 25 March 2012
Методика Т.Е. Рыбакова 02 February 2011
Примерный расчет старта как Лидер и как Диамант. 21 February 2012
  • Дипломная работа
    • Дипломы по физике
    • по психологии
  • Курсовая работа
  • Реферат
  • доклад
  • Статьи
  • Педагогика
  • Конспект лекций
  • Аннотация
  • Лабораторная работа
  • контрольная
  • Иследования
  • конспект урока