Казаковцева Ю. В.
ГОАУ Кировский экономико-правовой лицей
В данной работе мы постарались выяснить, где может использоваться такая сложная и серьёзная область математической науки, как фрактальная геометрия. Для этого мы рассмотрели начальное понятие о том, что такое фрактал, возможности конструирования с помощью фракталов. Термин «фрактал» произведен от латинского глагола frangere – «ломать» и прилагательного fractus – «дробный». В прошлом нашим предкам казалось, что геометрия в природе сводится к таким простым фигурам, как линия, круг, многоугольник, сфера, а также их комбинации. Например, что может быть красивее утверждения о том, что планеты в солнечной системе движутся вокруг солнца по круговым орбиталям? Однако многие природные системы настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется невозможным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны деревьев в терминах геометрии? Представьте себе всю многосложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клетке человеческого тела. Фракталы и математический хаос – подходящие средства для исследования поставленных вопросов. В работе мы показали, в каких областях ещё может быть использована фрактальная геометрия. Цель работы - разработать методику описания природных объектов. Для решения поставленной цели мы определили следующие задачи:
1) получить представления о фракталах;
2) вывести формулу размерности;
3) дать понятие о самоподобии;
4) показать применение L-систем для построения фракталов;
5) дать представление о качественной стороне аттрактора Лоренца, продемонстрировать некоторые классические и случайные фракталы.
Объект исследования – фрактальная геометрия, виды фракталов. Предмет исследования – методика описания природных объектов. Методы:
1) изучение специальной литературы, источников информации;
2) математический анализ;
3) обобщение и систематизация знаний;
4) геометрическое моделирование;
5) математический прогноз.
Понятие фрактала и самоподобия.
Под фракталами понимают множества, демонстрирующие на разных масштабах разрешения своей геометрической структуры свойства подобия в строгом или приближенном смысле, а также объекты в природе, обладающие этим свойством хотя бы приближенно, в достаточно широком интервале масштабов.
Размерность d объекта, будь то отрезок, квадрат или куб, появляется как степень r в соотношении между N, числом равных подобъектов, и коэффициентом подобия r. А именно:
Для примера мы рассмотрели построение таких фракталов, как: снежинка Коха, ковер Серпинского, губка Менгера, сорняк и т. д.
L-системы. Изначально L-системы были введены при изучении формальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самоподобные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их широкого применения в компьютерной графике для построения фрактальных деревьев и растений. Для графической реализации L-систем в качестве подсистемы вывода в работе используется так называемая тертл-графика (turtle – черепаха).
Пыль Кантора. Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасыванием средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок [0,1], и первый шаг состоит в удалении открытого интервала (1/3, 2/3). На следующем и всех остальных шагах выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, получается некоторая последовательность точек. [1]
Также в работе рассмотрено построение аттрактора Лоренца.
Фракталы широко представлены как в математике, так и в природе. Фракталы применяются в компьютерной графике, в математике, в механике. Они стали новым направлением в искусстве, демонстрируя собой настоящие шедевры - картины необычайной красоты и привлекательности. [2, 3, 4]
Таким образом, мы выяснили, как применяется фрактальная геометрия в моделировании сложных и нерегулярных процессов, то есть явлений, происходящих в природе, создаваемых хаотическими силами.
Список литературы
1. Ричард М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: «Техносфера», 2006.
2. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. М.: «Университетская книга», 2005.
3. Потапов А. А., Герман В. А. Классификация и распознавание объектов фрактальными методами. М.: МГУ, 2002.
4. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М.: «Логос», 2002.