Информатика. Лекция 4

Star InactiveStar InactiveStar InactiveStar InactiveStar Inactive
 

 

Лекция 4

§ 13. Другие важные понятия теории информации

§ 14. Кодирование информации

§ 15. Защита информации

§ 16. Информатика и системные основы

§ 17. Моделирование как метод исследования систем

ЛЕКЦИЯ 4

§ 13. ДРУГИЕ ВАЖНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ

Два способа измерения информации, рассмотренные в предыдущих параграфах, как правило, не совпадают, причем энтропийное количество информации не может быть больше числа двоичных символов (битов) в сообщении. Если энтропийное количество информации меньше числа битов в сообщении, то говорят, что сообщение избыточно.

В примере с колодой из 32 карт оба способа измерения информации дают одно и то же число 5. Это значит, что если кодировать карты колоды последовательностями из пяти двоичных символов, то такой код будет неизбыточным. Тривиальные сообщения всегда избыточны, так как имеют нулевую информацию с точки зрения энтропии, но содержат ненулевое число символов.

На основе понятий энтропии и количества информации в теории информации введены важные характеристики сигналов и информационных систем. Вот основные из них.

1. Скорость создания информации H - энтропия источника, отнесенная к единице времени.

2. Скорость передачи информации R - количество информации, передаваемое по каналу связи в единицу времени (например, для речи в обычном темпе - около 20 бит/с).

3. Избыточность - свойство сигналов, состоящее в том, что каждый элемент сигнала (например, символ в тексте) несет информации меньше, чем может нести потенциально. При отсутствии помех избыточность вредна, так как снижает эффективность использования системы (снижает скорость передачи по каналу связи, увеличивает требуемый объем памяти при запоминании, увеличивает число операций при обработке и пр.). Вместе с тем избыточность - единственное средство борьбы с помехами, так как именно она позволяет установить, какие символы были испорчены шумами, и восстановить переданный сигнал (например, именно избыточность позволяет разгадывать кроссворды или играть в «поле чудес»). Избыточность измеряется по формуле:

где n - текущая длина (число символов) сигнала, а n0 - длина сигнала при максимальной информационной загрузке, т. е. минимальная из длин сигналов, несущих ту же информацию.

4. Пропускная способность канала связи C - максимальная скорость передачи информации: С = max R, где максимум отыскивается среди всех мыслимых приемно-передающих систем, связанных данным каналом. Экспериментально установлено, что пропускная способность зрения и слуха человека около 5 бит/с.

Чем больше информации несет каждый из определенного числа импульсов, тем полнее используется пропускная способность канала. Поэтому нужно разумно кодировать информацию, найти экономный, скупой язык для передачи сообщений.

Но на практике довольно часто случается, что код, возникший в результате самого тщательного «просеивания», код удобный и экономный, может исказить сообщение из-за помех, которые всегда, к сожалению, бывают в каналах связи: искажения звука в телефоне, атмосферные помехи в радио, искажение или затемнение изображения в телевидении, ошибки при передаче в телеграфе. Эти помехи, или, как их называют специалисты, шумы, обрушиваются на информацию. А от этого бывают самые невероятные неожиданности. Поэтому для повышения надежности в передаче и обработке информации приходится вводить лишние символы — своеобразную защиту от искажений. Они — эти лишние символы — не несут действительного содержания в сообщении, они избыточны.

С точки зрения теории информации все то, что делает язык красочным, гибким, богатым оттенками, многоплановым, многозначным, —  избыточность.

Новизна, общность и абстрактность понятий теории информации побудили многих специалистов приложить ее к задачам разных наук. Наиболее естественными оказались связи математической статистики (теории извлечения информации из измерений, которая возникла гораздо раньше, но теперь лишь по традиции продолжает рассматриваться отдельно от теории информации). Обнаружились также глубокие связи понятий теории информации со статистической физикой. Но не следует забывать, что теория информации описывает лишь некоторые (далеко не все!) стороны информационных отношений и не претендует на исчерпывающее описание той роли, которую играет информация в человеческом обществе, живых организмах и других системах. Попытки снять эти ограничения (вводя количественные меры для ценности, верности, смысла информации) продолжаются.

§ 14. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ

Теория кодирования - раздел теории информации, связанный с задачами кодирования и декодирования сообщений, поступающих к потребителям и посылаемых из источников информации. Эти задачи теория кодирования решает с учетом задачи наилучшего согласования посылаемой информации с каналами связи (каналами передачи данных). Под этим понимается стремление максимально использовать пропускную способность канала, а также обеспечить передаваемым сообщениям нужную степень защищенности от помех.

Термин «кодирование информации» можно рассматривать в широком и узком смыслах.

Широкий смысл термина подразумевает следующее.

При любых видах работы с информацией всегда идет речь о ее представлении в виде определенных символических структур. Наиболее распространены одномерные представления информации, при которых сообщения имеют вид последовательностей символов. Так информация представляется в письменных текстах, при передаче по каналам связи, в памяти ЭВМ. Однако широко используются и многомерные представления информации, причем под многомерностью понимают не только расположение элементов информации на плоскости или в пространстве (в виде рисунков, схем, графов, объемных макетов и т.д.), но и множественность признаков используемых символов. Например, информацию могут нести не только значения букв и цифр, но и их цвет, размер, вид шрифта.  Всякое событие, всякое явление служит источником информации. Всякое событие, всякое явление может быть выражено по-разному, разным способом, разным «алфавитом», т. е. по-разному закодировано.

Таким образом, формирование представления информации называется ее кодированием.

Часто термин «кодирование» употребляется в более узком смысле, как переход от исходного представления информации к представлению, удобному для ее хранения, передачи или обработки. В этом случае обратный переход к исходному представлению информации называется декодированием. Иногда приводят и такое определение: кодированиеэто запись информации по определённым правилам. Отсюда кодэто правила сопоставления кодовых слов, т. е. определенных комбинаций символов, и передаваемых сообщений на передающем и приемном концах канала связи.

Информация не может существовать без материального носителя, без передачи энергии. Это хорошо иллюстрирует уже известный вам «демон» Максвелла. Закодированное сообщение приобретает вид сигналов — носителей информации. Они-то и текут по каналу. Выйдя на приемный конец канала связи, сигналы должны обрести вновь общепонятный вид. С этой целью сигналы пробегают декодирующее устройство, приобретая форму, удобную для абонента. Как правило, на разных этапах сложного информационного процесса информация перекодируется неоднократно. Кодирование и декодирование считаются одними из самых важных логических операций в ЭВМ.

В теории кодирования фундаментальное значение имеют две теоремы, доказанные известным американским ученым К. Шенноном, с которых, собственно, и началось развитие теории кодирования. Первая теорема Шеннона говорит о том, что при канале, не вносящем своих помех, можно закодировать сообщения таким образом, чтобы среднее число элементов кода, приходящихся на один элемент кодируемого алфавита, было бы минимальным (этот минимум определяется некоторым параметром H - энтропией источника информации, характеризующего статистические свойства источника). Такое кодирование называется эффективным статистическим кодированием.

Вторая теорема Шеннона относится к каналам с искажениями. Согласно этой теореме, для таких каналов всегда существует способ кодирования, при котором сообщения будут передаваться с какой угодно высокой достоверностью, если только скорость передачи не превышает пропускной способности канала связи.

Специальным разделом в теории кодирования является теория арифметических кодов, используемых для повышения надежности работы вычислительных устройств. Арифметические коды позволяют обнаруживать и исправлять ошибки, возникающие в арифметических устройствах ЭВМ. Правда, за такой сервис приходится расплачиваться лишним временем и оборудованием. Поэтому арифметические коды используются только в специальных ЭВМ, предназначенных для решения ответственных задач, когда ошибки в работе машины могут привести к весьма нежелательным последствиям (например, арифметические коды используются во многих ЭВМ, которые устанавливают на космических кораблях).

При кодировании могут ставиться разные цели и, соответственно, применяться разные методы. Наиболее распространенные цели кодирования - это экономность, т. е. уменьшение избыточности сообщения; повышение скорости передачи или обработки; надежность, т. е. защита от случайных искажений; сохранность, т. е. защита от нежелательного доступа к информации; удобство физической реализации (например, двоичное кодирование информации в ЭВМ); удобство восприятия. Эти цели часто противоречат друг другу, но именно они определяют выбор языка для кодирования. Экономные сообщения могут оказаться ненадежными, так как они не содержат лишних символов, и искажение любого символа может изменить смысл сообщения.

Например, обычная запись чисел цифрами гораздо экономнее и удобнее для вычислений, чем запись словами. Однако искажение или удаление любой цифры изменяет величину числа. Поэтому в финансовых документах, где надежность крайне важна, цифровые представления чисел в некоторых местах заменяются или дублируются словесными представлениями.

Теория кодирования подробно исследует проблемы разумного сочетания экономности и надежности при передаче информации.

Экономное сообщение может повысить скорость обработки, но может и уменьшить ее. Например, очень экономно использовать вместо фамилий и имен учеников школы коды типа 10А5 (десятый класс «А», пятый по порядку в журнале). Но тогда надо либо помнить все соответствия между фамилиями и кодами, либо каждый раз обращаться к журналу. Повысить качество всех параметров одновременно нельзя: улучшение одного из них, как правило, ухудшает другой. Выход из положения нашли в том, что на разных этапах передачи информации совершенствуют разные параметры, т. е. в процессе передачи информацию несколько раз перекодируют, причём с разными целями. Например, текст телеграммы, написанный на обычном языке, преобразуют в один из телеграфных кодов, который технически удобнее передавать, а при приёме снова превращают в обычный текст. Но иногда выбирают наиболее важный параметр и улучшают в первую очередь его.

Рассмотрим более подробно двоичное кодирование.

При двоичном кодировании, как правило, интересуются только одним параметром — экономностью записи; в сообщениях не должно быть лишних символов. Но именно это и делает передачу информации ненадёжной: если пропадает или изменяется хотя бы один символ, часть информации утрачивается либо искажается. На помощь приходят математические методы кодирования, они позволяют обнаруживать и исправлять ошибки, возникающие при передаче. Такое кодирование называют помехоустойчивым.

При наличии помех принять сообщение без ошибок помогает, прежде всего, его избыточность. Если сообщение неизбыточно, избыточность вводят специально, например, повторяют одно и то же несколько раз.

Самый простой и экономный способ борьбы с ошибками в двоичной информации — контроль чётности, когда последовательность нулей и единиц разбивают на группы с одинаковым числом символов, В каждой группе подсчитывают число единиц. Если оно чётное, то справа добавляют 0; если нечётное, — добавляют 1. Тогда в любом случае число единиц получается чётным.

Добавочный символ не несёт информации, зато позволяет обнаружить ошибку. Если при передаче возникает ошибка, то 0 изменяется на 1 или 1 — на 0 и, следовательно, число единиц становится нечётным. При приёме сообщений снова в каждой группе символов подсчитывают число единиц. Если оно чётное, ошибок нет. Конечно, такой вывод верен только тогда, когда заранее известно, что парные ошибки в одной группе практически невозможны. Поэтому количество символов в группах подбирают в зависимости от того, насколько часто появляются ошибки. Чем реже они случаются, тем длиннее могут быть группы. При этом  уменьшается число самих групп и добавочных символов, а значит, и избыточность. Этот метод широко применяется в компьютерах, где вероятность ошибок невелика.

Современные методы кодирования с  исправлением ошибок  используют высшую алгебру,  теорию чисел и  т. д.  Символы уже не делятся на информационные и проверочные - код анализируется и декодируется как единое целое.

Часто приходится решать обратную задачу — уменьшать естественную избыточность текстов. Такая процедура называется сжатием или упаковкой информации. Её применяют в тех случаях, когда хранить информацию приходится долго, но работать с ней — редко, а также при передаче длинных текстов.

§ 15. ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ

Защитой информации от несанкционированного доступа стали интересоваться задолго до возникновения теории информации. Шифровка информации всегда была нужна разведчикам, дипломатам, различным правительственным службам.

Долгое время методы шифровки зависели от искусства и изобретательности их создателей и были столь же секретными, как и сама информация. В настоящее время теория защиты информации (криптография) - точная математическая наукой, которая занимается разработкой специальных способов обеспечения секретности (паролей, ключей и т. д.). Шифр в теории защиты информации – это совокупность условных знаков для секретной передачи информации.

Необходимо отметить, что обеспечение секретности увеличивает объем хранимой информации и замедляет работу с ней. Шифров существует множество. Самый простой шифр – подстановка. В нем каждая буква меняется на определенный символ, обычно на какую-то иную букву. Подстановка бывает и более сложной, когда вместо одной буквы используют сочетания из двух, трех и более букв.  Иногда при шифровании сообщение делится на группы букв или других символов определенной, фиксированной, длины. И для каждой такой группы применяется одна и та же перестановка. Сообщения шифруют и перемешанным алфавитом с последующей многократной подстановкой.

В матричной системе, которую часто применяют в шифровании, буквы нумеруют от 0 до 25 и рассматривают их как элементы своеобразного алгебраического кольца. Каждому шифру и коду соответствует особый ключ. Так, в матричной системе ключом является определенная матрица. Другими словами, сколько шифров, столько и способов дешифровки.

В принципе любая система шифрования может быть решена простым перебором всех возможных в каждом конкретном случае ключей. Но перебирать придется до тех пор, пока не отыщется тот единственный ключ.  Но это процесс длительный и трудоемкий. Чтобы облегчить шифровку и дешифровку, была создана специальная теория секретных систем. В ней изучаются стандартные типы кодов и шифров, а также способы их расшифровки.

К проблеме шифрования примыкают различные исследования. В частности, решать некоторые задачи шифрования важно для функционирования ЭВМ. Например, методы шифрованной защиты программ и операционных систем ЭВМ позволяют сохранять секретность данных при передаче их по каналам связи, закрывают доступ к способам расшифровки того, что делает машина, какую задачу она решает. Созданы и специальные программы — одни для дешифровки, другие для борьбы с дешифровкой, т.е. чтением без ключа.

§ 16. ИНФОРМАТИКА  И Системные основы

Содержание данного параграфа продиктовано  непосредственной  связью  понятий  «система»,  «системность», «системный подход», «системный анализ» с основными категориями информатики, ведь любой объект изучения в информатике представляется в виде информационной системы.

Философы с древнейших времен пытались отыскать «высшие субстанции»,  предполагая,  что они стоят за миром отдельных вещей.  В аристотелевских «элементах целого», в демокритовских «атомах»,   платоновских    «идеях»,    спинозовских «субстанциях и  модусах»,  гегелевских  «понятиях» зарождались первые мировоззренческие представления о  системности  мира. Однако закономерности микро- и макросистем раскрыты  только  в нашем веке. Ведущая роль в этом принадлежит кибернетике.

Исследованию мировоззренческих,  методологических и прикладных аспектов  системности посвящено огромное количество работ, ведущихся во всем мире представителями всех наук. Несомненно, каждый исследователь,  приступающий к системному изучению  тех  или  иных  явлений, должен в единстве описывать «статику и динамику», «структуру и функции», «строение и развитие» явления. Только тогда исследование даст достаточно  точное представление о действительности.

Системность существует  во всех сферах и на любых уровнях объективного мира. Заметим, что при  глубоком анализе существа  «системности»  как сложной методологической проблемы необходимо подробно рассматривать некоторые важные  философские проблемы. Мы же остановимся кратко лишь на тех аспектах, которые непосредственно связаны с информатикой.

Отметим,  как  современная  наука   определяет смысл понятий  «система»  и «системный подход»,  которые будут использоваться далее.

Система - общенаучное понятие, которое выражает совокупность элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом и   со   средой,   образующих   определенную  целостность, единство. Типы систем весьма разнообразны:  материальные и духовные, неорганические  и живые,  механические и органические, биологические и социальные, статичные и динамичные, открытые и замкнутые и  т.д.  Любая  система представляет собой множество разнообразных элементов,  обладающих структурой и  организацией. Понятие «система» выступает универсальным обозначением любого исследуемого объекта.

Системный подход определяется как совокупность общенаучных методологических принципов (требований),  в основе которых лежит рассмотрение объектов как систем. К числу этих требований относятся:

- выявление зависимости каждого элемента от его места и функций в системе с учетом того,  что свойства целого несводимы к сумме свойств его элементов;

- анализ того, насколько поведение системы обусловлено как особенностями ее отдельных элементов,  так и свойствами ее структуры;

- исследование  механизма взаимозависимости,  взаимодействия системы и среды;

- изучение характера иерархичности,  присущего  данной системе;

- обеспечение множественности описаний с целью многоаспектного охвата системы;

- рассмотрение динамизма системы, представление ее как развивающейся целостности.

Системный подход включает такие методы и средства исследования, которые приложимы к любым системам или достаточно широким их классам. Системный подход ориентирует исследователя на раскрытие целостности объекта, на выявление многообразных типов связей и сведение их в единую (системную) теоретическую картину. Методологические принципы системного подхода неразрывно связаны с принципом системности материалистической диалектики.

Использование системного подхода в изучении действительности привело к развитию такой научной области как системные исследования. Системные исследованиясовокупность  современных научных и технических работ, концепций и проблем, отличительная особенность которых состоит в том, что исследуемые в них объекты рассматриваются как системы. Особое внимание к системным исследованиям связано с необходимостью исследования и проектирования сложных систем в различных областях техники и науки (в организации производства, биологии, психологии, радиоэлектронике, кибернетике и т. д.).

Для того чтобы понять, в чем состоит неразрывная связь категорий информатики с системным подходом, необходимо уяснить следующее.

Система — это комплекс взаимосвязанных элементов.  Система несет в себе смысл, т.е. информацию. С точки зрения информатики информационное отражение одной системы в другой – есть информационная модель. Информационная модель объекта имеет собственную внутреннюю структуру, что определяется как синтаксический аспект информации. Смысл (семантический аспект) информации состоит в соответствии отражения определенному управляемому или исследуемому объекту. Целевая функция информации (прагматический аспект) характеризуется ее способностью влиять на процессы управления.

Информационное отражение всегда основано на определенных физических элементах и явлениях. Однако информация, как таковая, физической системой не является. Это делает принципы информационного отражения универсальными.

Универсальность принципов информационного отражения позволяет реализовать информационные системы на быстродействующих миниатюрных элементах независимо от пространственно-временных масштабов, массы и энергетической мощности отражаемой (моделируемой) системы. Благодаря указанным особенностям  информационного моделирования оно может проводиться при минимальных затратах энергии и вещества с опережением моделируемых процессов и позволяет вырабатывать управляющие воздействия на объект в режиме его реального времени.

Совместное развитие теории систем и теории информации происходит сегодня в трех основных направлениях:

- анализ   информационной   структуры   реальных  систем (технических, физических, биологических, социальных и т.д.);

- разработка принципов информационного отражения;

- разработка   принципов   создания    технических и программных средств информатики.

Особой областью системных исследований является общая теория систем, которая выполняет функцию обобщения и выработки принципов построения специального системного знания.

Системный подход и теория систем являются как предметом, так и методом научных исследований. Теория систем вошла и в научную и в производственную практику. Действенность системного подхода во многом определяется тем, что он вытекает из законов диалектики: слияние идеи развития с идеей структурности при неисчерпаемости связей. Теория систем исследует в единстве «структуру изменений» и «изменение структур».

В настоящее время разработано несколько вариантов общей теории систем, которые представляют собой обобщенные концепции применительно к определенным классам системных задач.

Системный анализметодология, выработанная для исследований больших систем; совокупность    методологических средств и процедур, используемых для полготовки, обоснования и осуществления решений по сложным проблемам различного характера.

Иногда термин «системный анализ» употребляют в широком и нестрогом смысле как синоним системного подхода.

Процедуры и методы системного анализа направлены на выдвижение альтернативных вариантов решения проблем, выявление масштабов неопределенности по каждому из вариантов и сопоставление вариантов по тем или иным критериям эффективности. Концептуальной основой системного анализа считают общую теорию систем и системный подход. Системный анализ, однако, заимствует у них лишь самые общие исходные представления и предпосылки и строится на следующих важнейших принципах:

- процесс принятия решений должен начинаться с выявления и четкого формулирования конечных целей, а также критериев, по которым может оцениваться их достижение;

- необходимо рассматривать всю проблему как целое, т. е. как единую систему, и выявлять все последствия и взаимосвязи каждого частного решения;

- необходимы выявление и анализ возможных альтернативных путей достижения цели;

- цели отдельных подразделений не должны вступать в конфликт с целями всей программы.

Центральной процедурой в системном анализе является построение обобщенной модели (или моделей), отображающей все те факторы и взаимосвязи реальной ситуации, которые могут проявиться в процессе осуществления решения. Полученная модель исследуется для выяснения того, насколько близок результат применения какой-либо альтернативного варианта к желаемому, каковы сравнительные затраты ресурсов и времени по каждому из вариантов, какова степень чувствительности модели к различным нежелательным внешним воздействиям.

Технической основой системного анализа являются современные  вычислительные машины и информационные системы. Применение системного анализа для решения чрезвычайно широкого диапазона самых разнообразных задач порождает потребность в разработке его теоретического аппарата. Практическая ценность и эффективность системного анализа обусловливается возможностью достаточно строго рассматривать слабо структурированные, имеющие большую долю неопределенности ситуации.

Характер проектируемой или анализируемой системы для системного анализа безразличен. Это может быть и большой испытательный полигон, и сеть магазинов большого города, и система, описывающая экологическую ситуацию.

Специалист в области системного анализа называется системным аналитиком. В процессе деятельности системного аналитика обычно выделяются три основные стадии:

- выделение составных частей проблемы и их формализация;

- поиск пути решения проблемы (в том числе с использованием математических методов);

- реализация полученных результатов на практике (в идеале - без возникновения новых проблем).

В связи с этим иногда говорят, что системный анализ - это методика улучшающего вмешательства в проблемную ситуацию.

Различают четыре типа решений в проблемной ситуации:

l) невмешательство в проблемную ситуацию, если любое из предлагаемых изменений только ухудшает ее;

2) ограничение проблемы частичным решением, смягчающим ее остроту;

3) оптимальное решение - наилучшее в данных условиях;

4) решение, при котором в саму систему и в заданные условия вносятся изменения, способствующие решению проблемы и не вызывающие новых проблем.

В отличие от чисто научных, лабораторных исследований, системный анализ осуществляется в ходе реальных событий, изменяющих как сам объект анализа, так и его окружение, что существенно усложняет работу. Системный анализ представляет собой сплав науки и искусства, и пропорции между ними в каждом конкретном случае определяются природой проблемы и квалификацией аналитика.

§ 17. МОДЕЛИРОВАНИЕ как метод исследования систем

Система требует особых методов исследования, какими располагает теория систем. Для изучения системы строится специальная модель.

Модель разделяется на четко описанные элементы и собирается по четко описанной схеме. Чтобы описать и элементы, и схему, привлекают по возможности все знания об объекте исследования, который служит прообразом модели.  Это не только  знания о природе объекта и законах его существования, но и различные гипотезы и предположения, к которым обращаются в случае нехватки реальных данных и т.п. Описание модели, как правило, строго записывается на математическом языке в виде систем уравнений. Затем сроится описание в виде программ для электронно-вычислительной машины. Машинное моделирование сегодня — эффективный метод, позволяющий находить характеристики системы в целом.

Далее модель заставляют функционировать, чтобы выявить ее поведение во «внешнем мире». Результаты могут быть либо сходными с известными из опыта и наблюдений, либо несходными, что бывает гораздо чаще.

Следующий этап – либо принятие, либо исправление, либо отвержение гипотез, использованных в модели. Во втором и третьем случае процесс повторяется с определенного этапа. Таким путем удается получить достоверные сведения о системе.

Существуют системы с невероятно сложными иерархическими структурами, что затрудняет моделирование, поскольку слишком много элементов,  слишком много связей, слишком много переменных. Системный метод предписывает исследователям в таких случаях определить конечное  число характеристик, от которых зависит результат и отбросить  те характеристики, некоторые несущественны для конкретной проблемы.

Формально объяснить связь понятий «система» и «модель» можно следующим образом. Пусть имеются две системы A и B с элементами {ai} и {bi} соответственно. Пусть далее элементы каждой системы связаны между собой множествами различных отношений {ri} и {fi}. В частном случае такими отношениями могут быть некоторые зависимости между элементами системы. Эти зависимости характеризуют интересующие исследователя свойства системы. Пусть, наконец, в каждой системе имеются некоторые правила вывода, позволяющие получать новые зависимости (отношения) между элементами системы и некоторое множество исходных, априорно заданных зависимостей (аксиом). Исходные зависимости и те, которые могут получаться из них путем использования правил вывода, будем называть правильными (справедливыми) для данной системы.

Если между элементами рассматриваемых систем удается установить взаимно-однозначное соответствиеизоморфизм, т. е. сформулировать правило, по которому каждому элементу аi в системе А будет соответствовать некоторый элемент bi в системе В и наоборот, и если можно установить изоморфизм между соответствующими отношениями, аксиомами и правилами вывода, а следовательно, и между правильными зависимостями, то одну из систем можно назвать моделью другой системы. Это означает, что, получив в одной системе правильную зависимость, можно получить правильную зависимость, соответствующую ей, в другой системе, не производя в этой системе нужных операций.

Поясним сказанное двумя простыми примерами. Известно, что вместо умножения и деления больших чисел производят сложение и вычитание логарифмов этих чисел. Таким образом, еще недавно считали на логарифмических линейках. Так, если система А состоит из положительных действительных чисел, а система В - из логарифмов этих чисел, то между элементами этих систем можно установить изоморфизм, где каждому числу соответствует его логарифм и наоборот. Операциям (зависимостям) умножения и деления в системе А соответствуют операции сложения и вычитания в системе В. Так, если мы хотим узнать результат перемножения двух чисел в системе А, достаточно сложить соответствующие элементы системы В и вернуться к элементу системы А, соответствующему полученной сумме.

Еще один пример. Рассмотрите любую систему, представляющую собой электрическую цепь с различными  элементами. Если вы воспользуетесь известными из электротехники соотношениями между элементами данной системы, то получите математические выражения, описывающие связи между элементами. В этом случае говорят, что система уравнений, описывающая поведение системы, представляет собой математическую модель (в данном случае, математическую модель электрической цепи).

Если теперь мы хотим исследовать поведение электрической цепи, то можно непосредственно исследовать саму систему (провести натурный эксперимент), либо воспользоваться системой уравнений и решить ее.

Таким образом, «в широком смысле», моделирование есть общенаучный метод исследования разнообразных систем.

«В узком смысле» моделирование определяют как область знаний, занимающуюся разработкой разнообразных моделей, их теорией и использованием.

С развитием кибернетики и информатики моделирование прочно вошло в арсенал методов, широко используемых в различных областях науки и техники, и стало одним из основных инструментов современной информатики.

На страницах учебников вы чаще всего встречаетесь с моделями, имеющими вид математических формул.

Например:

a1x1 + b1x2 = c1

a2x1 + b2x2 = c2.

Что скрывается за этими знаками?

Математик даст самый общий ответ, что это система из двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными. Но что именно она выражает, сказать сложно. Это могут быть уравнения электрического напряжения или токов в цепи с активными напряжениями;  уравнения равновесия сил для системы рычагов или пружин; уравнения, связывающие силы и деформации в какой-то строительной конструкции; уравнения для расчета загрузки станков и т.д.  Все в указанной системе зависит от того, что скрывается за постоянными коэффициентами а, b, с и символами неизвестных — x1 и x2.

В поразительном математическом сходстве различных явлений заложены огромные возможности. Рассматриваемый вид моделирования называется математическим и осуществляется на языке математики и логики. При таком моделировании математические операции удобнее всего проводить на ЭВМ.   Этапы математического моделирования приведены на рис.7.

В математическом моделировании существует своя теоретическая база - его методология и технология решения задач — вычислительный эксперимент. У этого вида моделирования есть ряд замечательных преимуществ по сравнению с другими. Во-первых, как мы уже отметили, одна и та же модель применима в самых разных областях науки. Во-вторых, вычислительный эксперимент позволяет значительно экономить время исследований. В-третьих, на математической модели можно экспериментировать даже тогда, когда объекты по каким-то причинам исследователю неподвластны: либо удалены от него (звезды), либо чрезвычайно кратковременны (жизнь элементарных частиц), либо слишком велики (сложные комплексы).

Как говорят специалисты, при математическом моделировании нужно проиграть множество сценариев, выбрать самый приемлемый и научиться управлять его реализацией. Это общее требование, относящееся к вычислительному эксперименту. Например, для зажигания термоядерной реакции синтеза необходимо создать условия с фантастическими, как на звездах, параметрами, где давление достигает тысяч миллиардов атмосфер, плотность в тысячи раз превосходит плотность металлов, температура — сотни миллионов градусов, скорость — тысячи километров в секунды, а время управляемых процессов доходит до сотых долей миллиардной доли секунды. До того как перенести эксперимент в лабораторию, его «проигрывают» на ЭВМ.

Рис.7. Этапы математического моделирования

Процесс построения сложной математической модели нелегок и продолжителен. Он начинается с достаточно приблизительной (грубой информационной) или имитационной (аналоговой) модели. Этот этап называют мягким моделированием. По мере того как углубляется понимание моделируемого явления, модель становится все более и более строгой. Вычислительный эксперимент кончается, когда модель описана языком уравнений,— это жесткое моделирование.

Готовая математическая модель бывает иногда настолько сложной, что,  для моделирования требуется несколько лет машинного времени. Условие для реализации невыполнимое. Правда, некоторые из подобных задач научились решать не прямо, а в обход, используя для этого специальные приемы.

Очень часто в моделировании приходится изучать иерархические, многоступенчатые системы — технические, биологические, социально-экономические. В таких случаях прибегают к декомпозиции. Исследуемый объект разлагают на части, которые моделируют отдельно, а затем слагают в единое целое.

Другой путь — так называемое теоретическое модельное проектирование, использующее методы перебора множества вариантов.  Им, например, пользуются при проектировании молекул белков, состоящих из тысяч атомов. Подобные задачи решают в молекулярной генетике, когда ставят целью получить живое вещество с заданными свойствами.

Когда нужно предельно точно описать ситуации в сложных, подчас парадоксальных, хаотических явлениях, характерных для химической кинетики, для гидродинамики, и там, где возникают неожиданные связи внутри динамических систем, используют комбинации различных методов математического моделирования.

Математическая модель не только заменяет натурное экспериментирование, но и глубоко вскрывает внутренние связи объекта исследования, дает его точные количественные характеристики, позволяя без дополнительных затрат переходить от одной актуальной задачи к другой, в несколько раз уменьшая тем самым сроки и стоимость разработок. И что самое главное — математическое моделирование стимулирует постановку новых проблем и создание новых методов исследования, о которых ранее не приходилось и думать.

 

 

Сейчас читают